[수학자] 피타고라스(Pythagoras)_천재 수학자, 철학자, 천문학자, 음악가의 비밀

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오늘은 탈레스의 후계자인 피타고라스(Pythagoras, BC 582?~ 497?)에 대해 알아보고자 합니다. 피타고라스에 대한 후대의 기록은 매우 단편적이면서 신화적입니다. 꼭꼭 감춰둔 신비주의자였기 때문에 기록이 많지 않은 걸까요? 천재 수학자이면서 철학자, 천문학자, 음악가였던 이 피타고라스는 비밀결사 종교단체의 지도자였습니다. 그리스 사모스섬에서 출생하여 방랑 생활을 했다고 전해집니다. 피타고라스는 이집트를 비롯한 여러 지방을 여행하며 지식을 두루 습득했다고 고대 문헌 기록에 나오는데, 여행에서 얻은 많은 지식과 경험이 그의 생각을 더 깊이 있고 심오하게 만들어 준 것이라고 추정됩니다.

피타고라스 학파

사모스 섬을 독재하고 있었던 폴리크라테스와 갈등을 빚던 피타고라스는 그의 추종자들을 이끌고 BC 530년 즈음 이탈리아 남부 도시 크로톤으로 이주하게 됩니다. 피타고라스는 ‘피타고라스의 제자들’과 ‘피타고라스주의자’들을 구별하였는데 전자의 피타고라스 제자들은 ‘배우는 자’(학문파)라는 뜻의 마테마티코이(Mathematikoi)라 불렀으며, 후자의 피타고라스주의자들은 ‘듣는 자’(계율존중파)라는 뜻의 아쿠스마티코이(Akousmatikoi)라고 불렀습니다. 아쿠스마티코이는 집에서 살면서 영적인 가르침을 받았던 데에 반해 마테마티코이는 수학, 천문학, 음학, 기하학을 배우는 공동체였습니다. 개인 재산을 포기하고 공동체에 헌납하면서 충성맹세를 해야만 들어갈 수 있는 비밀스러운 공동체가 바로 마테마티코이지요. 복종과 서약, 스승의 권위를 중시한 철학 공동체이자 폐쇄적이고 신비주의적인 경향이 있는 종교 집단이기도 했습니다. 이 공동체에서 증명된 수학적 사실은 피타고라스의 이름으로만 발표가 되었습니다. 남녀 모두 입문이 가능했으나 소수의 여성들만 수학을 공부하고 논문을 발표합니다. 피타고라스는 자신의 제자 중 한 명과 결혼하였고, 이 공동체는 100년 동안 지속되었다고 합니다.

피타고라스의 정리

피타고라스는 우주 자체가 수로 만들어졌다고 믿었습니다. 우리의 귀에 들리는 아름다운 화음은 특정한 정수 비율의 결과라고 생각했으며 이렇게 모든 곳에 수의 질서가 존재한다고 믿었습니다. 수의 질서는 도형에서도 구현된다고 생각했는데 대표적인 사례가 피타고라스의 정리입니다. 사실 이 정리는 이집트, 중국, 메소포타미아 등 여러 문명에서 사용되던 아주 유명한 정리였습니다. 고대 인도와 중국의 문헌에 피타고라스의 정리가 소개되어 있고, 특히 중국의 수학책인 <주비산경>에서는 이 정리가 ‘구고현의 정리’라는 이름으로 소개되기도 했었죠. 그런데 왜 피타고라스의 이름이 붙여졌을까요? 그것은 ‘증명’을 제일 처음으로 한 사람에 의해 진리임이 인정되기 때문입니다. 피타고라스 정리는 그 증명 방법만 400여 가지가 있는데 닮은 삼각형의 비를 이용하는 방법, 넓이의 비교를 통한 기하학적 방법, 대수학적 방법 등 여러 가지 다른 접근으로 똑같은 명제를 증명할 수 있습니다. 이 정리와 증명에 흥미를 갖고 있는 사람들은 지금도 계속해서 새로운 증명법을 찾고 있습니다. 특히 루미스(Elisha S. Loomis)는 20세기 초에 피타고라스의 정리 증명 방법만을 모은 책을 발간하였는데, 이 책에는 367가지의 증명방법이 수록되어 있다고 합니다.

직각삼각형 빗변의 길이는 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.

피타고라스 정리의 '유클리드 증명법'

피타고라스 정리의 '헨리 페리갈' 증명법(1837)

피타고라스는 모든 수를 정수와 정수의 비로 나타낼 수 있다고 믿었습니다. 즉 유리수로 표현되기를 기대했지요. 하지만 피타고라스학파 중 한 사람 히파수스가 이에 대해 이의 제기를 합니다. 밑변과 높이가 1인 직각삼각형의 빗변은 유리수로 표현할 수 없음을 알아내지요. 제곱해서 2가 되는 수는 정수비(유리수)로 나타낼 수 없다는 것을 알게 된 히파수스는 이 사실을 누설했다가 피타고라스 학파에 의해 암살당했다는 전설이 있습니다. 자신들이 진리라고 굳게 믿었던 것들이 무너지는 것을 어떻게든 막고 싶었나 봅니다.

또한 피타고라스는 음악 안에서도 수학적 원리가 있다는 사실을 발견합니다. 대장간 앞을 지나가다 화음을 느끼고 음계를 창시한 피타고라스. 그는 망치들이 내는 소리가 어울림음으로 완전 5도라는 것을 알아냈습니다. 그는 망치들의 무게의 정확한 비례 관계가 조화를 이룬다는 사실을 발견해 냅니다. 이후 대장간 망치의 무게 조합과 같은 비율로 줄(현) 실험을 했더니 똑같은 결과가 나왔습니다. 현의 길이를 늘이거나 줄여가며 음정이 어떻게 이루어지는지 알아본 것이지요. 이처럼 간단한 정수의 비를 이용해 음계를 나타내는 것을 ‘피타고라스 순정률’이라고 합니다.




출처 | 이야기수학사, EBS 영상